Algunos otros conceptos fundamentales de Riemann con las derivadas

Consideraremos una función real y = f(x) positiva y acotada, definida en el intervalo cerrado [a, b].

Se llama integral definida de la función f(x)0 entre a y b (los límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b.

Comenzaremos con las definiciones de suma superior y suma inferior de Darboux de una función definida en un intervalo [a,b], asociadas a una partición del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.

Variación de las sumas de Riemann

Sea P = { x₀, x₁, x₂, ..., x_n} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

• La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir:

I(f, P) I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:

• La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:

S(f, P') S(f, P) para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.