"Figura de Kolch"

Curvas de Koch y Sierpinski

En 1.904 Niels Helge von Koch (1870-1924) define la curva que lleva su nombre. Se forma (fig. 1) partiendo de un segmento el cual es dividido en tres partes iguales. La parte central se sustituye por dos segmentos del mismo tamaño que el eliminado. Sucesivamente se repite el mismo proceso por cada segmento formado. La longitud de esta curva evoluciona de acuerdo a la siguiente sucesión:
1, 4/3, 16/9, 64/27, 256/81... , L=(4/3)^k .
Dado que la sucesión anteriormente indicada no converge hacia ningún valor, estamos ante una curva de longitud infinita. Y no sólo eso, sino que cualquier intervalo entre dos puntos también cumple esta propiedad. Otra característica de todos sus puntos es que son no derivables, es decir, es imposible trazar una tangente en ninguno de sus puntos.

Alrededor de 1915, Waclaw Sierpinski (1862-1969) concibió su archiconocido fractal (fig. 2). Partiendo de un triángulo (no tiene por qué ser equilátero) dibujamos otro uniendo los puntos medios de sus lados. La figura resultante contiene cuatro triángulos semejantes al anterior, pero sólo tres comparten su orientación. Ese cuarto triángulo no pertenece a la curva, y este detalle desencadena propiedades sorprendentes. En la siguiente iteración repetimos el mismo esquema con los tres triángulos aludidos, y así sucesivamente. No es difícil observar que el área definida va decreciendo con arreglo a la sucesión (en el caso de un triángulo equilátero de área 1): 1, 3/4, 9/16, 27/64, 81/256... , A=(3/4)^k . Por tanto, el área total del triángulo de Sierpinski es nula (obviamente tras infinitas iteraciones). Por otra parte, el perímetro de todos los triángulos generados sí es infinito. Siendo 1 la longitud del lado del primer triángulo, el perímetro total crece así: 3, 9/2, 27/4, 81/8, 243/16... , P = 3×(3^k)/(2^k)