"Las Derivadas en las Matematicas"

El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas no triviales para ellas... Pero los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas. (Spivak, 181-2).
El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x₀ a otro x = x₁ de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento Dx a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x₀ a x = x₀ + Dx), la función y = f (x) se verá incrementada en Dy = f (x₀ + Dx) - f (x₀) a partir del valor y = f (x₀). El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x₀ a x = x₀ + Dx. (Ayres, 22)].

Pendiente

[Si h ¹ 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la figura 6, una recta cuya pendiente es

Figura 6.

Como indica la figura 7, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a)) debería ser